O MUNDO

O mundo está passando por muitas mudanças, o que exige do homem uma reflexão sobre o seu modo de agir e pensar. Concomitantemente, o papel da escola diante dessas mudanças também passa por um momento de transição, já que ela deve ser um ambiente propício à aprendizagem, possibilitando ao aluno a construção do conhecimento, tendo o professor como guia ou mediador, ao invés de transmissor do conhecimento ou " dono doaber". Desse modo, é fundamental que o professor, antes de elaborar situações de aprendizagem respeite as diversidades existentes, pois o educando traz consigo uma história de vida, modos de viver e experiências culturais que devem ser valorizados nesse processo de desenvolvimento, já que a sociedade em que vivemos exige cada vez mais capacidade de organizar o pensamento, ler e interpretar todo o conteúdo do nosso aprendizado escolar.

sábado, 30 de abril de 2011

Equação do segundo Grau


Equação do 2º grau
   Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:
Equaçãoabc
x²+2x+1121
5x-2x²-1-25-1

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0  »  x²=9  »  x=  »  x= 
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0  »  x=0,9

3º caso: b=c=0
2x²=0  »  x=0
Resolução de equações do 2º grau:
  A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
   Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
   Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
   Multiplicamos os dois membros por 4a:
          4a²x²+4abx+4ac=0
          4a²x²+4abx=-4ac

   Somamos b² aos dois membros:
          4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
   Fatoramos o lado esquedo e chamamos de  (delta)
b²-4ac:

          (2ax+b)²= 
          2ax+b=
           2ax=-b 
   Logo:
              ou   

Fórmula de Bháskara:
 

 
 
   Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
  = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
 = 
  e   
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
  »  x=2  

 

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
   Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo:  » vazio
Propriedades:
 
  Duas raízes reais e diferentes
  Duas raízes reais e iguais
  Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes
 

Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com  e , suas raízes são:
   e    
A soma das raízes será:

   
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
O produto das raízes será:
  
        
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
 
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo: 
Substituindo por  e  :
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
 
x² - Sx + P = 0
Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
       
b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
   
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
    
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
   Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a)   Onde , pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:   
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
 » 
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4.  »  S={2,-4}
b )     e 
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)
Então: 
Eliminando os denominadores:
 »   »     »   
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:
x=-1  » S={-1}
Resolução de equações literais do 2º grau:
   Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.
 
Equação
a
b
c
x² - (m+n)x + p = 0
1
-(m+n)
p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²

 , Logo:
x = 2a  e  x = a  »  S={a,2a}
 Resolução de equações biquadradas
   Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
 
  onde   

Exemplo resolvido:

1) 
Fazendo x² = y , temos   
Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:
Logo, y = 4  e y`= 1
Voltando a variável x:
Como y=x², temos:
x²=4  »      e    x²=1  »   
Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente  

6 comentários:

Anônimo disse...

Gostei muito do Blog, acho que quem domina matemática tem meio caminho andado na escola, nunca fui muito boa.
Abraço.

rosi disse...

o blog e maravilhoso,tenho um problema que diz a seguinte... um quadro tem placa de vidro de 80 por 30cm e uma moldura com certa largura.A area do quadro e 3600cm²,qual a largura da moldura? nao cosigo resolver , pode me ajudar? grata

Claudio Luz disse...

Desculpe a demora rsrsrsr ...
mas vamos lá bom aqui vc tem que pensar assim a area do vidro é 80x30=2400 cm² e do quadro 3600 cm² logo a area que deve ser da moldura será
3600-2400= 1200cm²
tendo que a sua moldura terá cantos quadrados. temos que sua moldura terá então 4 cantos quadrados cuja a area sera 4x² . observando que a area total da moldura sera
4x²+2(80x)+2(30x)=1200
4x²+160x+60x=1200
4x²+220x-1200=0
a=4 b=220 c=-1200
Delta=b²-4ac
Delta=(220)²-4.4.(-1200)
delta=67600
calculando x chegamos aqui
x=(-220+260)/8
x=5

logo as dimensõe da moldura será 80+10=90 cm de largura e 30+10=40cm de altura .....
qualquer duvida sobre a questão perguntar.. abraços..

Claudio Luz disse...

observação valor negativo não serve pois e´medida de lado....

Anônimo disse...

nao consigo resolver esse problema...o triplo de um numero menos o quadrado dele e -54.Que numero e esse

Claudio Luz disse...

3x- x²=- 54

3x - x² = -54 ( "vamos deixar tudo de um lado só")

então x² - 3x - 54 = 0

a=1 b=-3 c=-54

delta = b²-4ac

delta = (-3)² - 4.1.(-54) = 225
observando a formula do X chegamos que:
x = (3 +15)/2 ou (3-15)/2---> x = 9 ou x = -6

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