GRANDEZAS - REGRA DE TRÊS

Diretamente e Inversamente Proporcionais

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado:

 volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo,  são alguns.exemplos de grandezas. 

 nosso dia-a-dia encontramos varias situações em que relacionamos duas ou mais grandezas veja exemplos:

•  Uma corrida  quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo

• Numa construção , quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto para que esta fique pronta.  Nesse caso, as grandezas são o número de funcionário e o tempo.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Em um determinado mês do ano o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse dado podemos formar a seguinte tabela.

Quantidade de gasolina (em litros)	Quantidade a pagar (em reais)
1	0,50
2	1,00
3	1,50

Observe:

Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra.

Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica.

Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais.

Duas grandezas são chamadas,  diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica.

Grandezas inversamente proporcionais 

Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores  alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá  12 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros.

Observe a tabela:

Número de alunos escolhidos.	Números de livros para cada aluno
2	12
4	6
6	4

 Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade.

Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. 

Duas grandezas são inversamente proporcionais  quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante.

Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro. 

Regra de Três. 

Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplica-las na resolução de problemas.

Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos.

Regra de três simples 

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 

Passos utilizados numa regra de três simples 

·        Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 

·        Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 

·        Montar a proporção e resolver a equação. 

 Exemplos: 

a)     Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido?

Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago.

Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas. 

A quantia a ser paga é de R$234,00.

b)     Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razão inversa.

Resolução: 

O tempo a ser gasto é 3 horas.

Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas.

Regra de Três Composta 

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 

 Exemplo:

a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? 

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional(seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Resolução:

Será preciso de 25 caminhões.

Por:  Carlos Teixeira

Equação do segundo Grau

Equação do 2º grau

   Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:

Equação	a	b	c
x²+2x+1	1	2	1
5x-2x²-1	-2	5	-1

Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0  »  x²=9  »  x=  »  x= 
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0  »  x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0  »  x=0

Resolução de equações do 2º grau:

  A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
   Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
   Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
   Multiplicamos os dois membros por 4a:

          4a²x²+4abx+4ac=0
          4a²x²+4abx=-4ac

   Somamos b² aos dois membros:

          4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
   Fatoramos o lado esquedo e chamamos de  (delta)
b²-4ac:
          (2ax+b)²= 
          2ax+b=
           2ax=-b 
   Logo:
              ou   

Fórmula de Bháskara:
 

   Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
  = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
 = 
  e   
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
  »  x=2  

 
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
   Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo:  » vazio

Propriedades:
 

	Duas raízes reais e diferentes
	Duas raízes reais e iguais
	Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes
 

Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com  e , suas raízes são:

   e    

A soma das raízes será:

   

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:

  

        

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
 

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

Obtendo: 

Substituindo por  e  :

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
 

x² - Sx + P = 0

Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

       

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

   

c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:

    

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

   Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a)   Onde , pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então:   

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

 » 

Aplicando a fórmula de Bháskara:

Logo, x = 2 e x` = 4.  »  S={2,-4}

b )     e 

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)

Então: 

Eliminando os denominadores:

 »   »     »   

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:

x=-1  » S={-1}

Resolução de equações literais do 2º grau:

   Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.
 

Equação	a	b	c
x² - (m+n)x + p = 0	1	-(m+n)	p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²

 , Logo:
x = 2a  e  x = a  »  S={a,2a}

 Resolução de equações biquadradas

   Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
 

onde

Exemplo resolvido:
1) 
Fazendo x² = y , temos   
Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:

Logo, y = 4  e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:

x²=4  »      e    x²=1  »   

Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente