Resolvendo sistemas Lineares, através da Regra de Cramer

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n = b₂
a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... + a_3nx_n = b₃
....................................................= ...
....................................................= ...
a_n1x₁ + a_n2x₂ + a_n3x₃ + ... + a_nnx_n = b_n

onde os coeficientes a₁₁, a₁₂, ..., a_nn são números reais ou complexos, os termos independentes

b₁, b₂, ... , b_n , são números reais ou complexos e x₁, x₂, ... , x_n são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

 

Seja D x_i o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita x_i ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b₁, b₂, ... , b_n.

A regra de Cramer diz que:

Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D x_i, ou seja:
x_i = D x_i / D

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:


x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6





 

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

 
x₁ = D x₁ / D = 120 / 24 = 5
x₂ = D x₂ / D = 48 / 24 = 2
x₃ = D x₃ / D = 96 / 24 = 4
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Fonte:site algosobre